Cho đường tròn tâm O có đường kính AB=2a nằm trong mặt phẳng (P). Gọi I là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao cho SI vuông góc với mặt phẳng (P) và SI=2a. Tính bán kính R của mặt cầu qua đường tròn tâm O và điểm S
A. R = a 65 4
D. R = a 65 16
C. R = a 5
D. R = 7 a 4
Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2a nằm trong mặt phẳng (P). Gọi I là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao cho S I ⊥ ( P ) v à S I = 2 a . Tính bán kính R mặt cầu đi qua đường tròn đã cho và điểm S.
A . R = 7 a 4
B . R = a 65 16
C . R = a 65 4
D . R = a 65 2
Cho đường tròn tâm O có đường kính AB=2a nằm trong mặt phẳng (P). Gọi I là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao cho SI ⊥ (P) và SI=2a. Tính bán kính R mặt cầu đi qua đường tròn đã cho và điểm S.
Cho điểm A nằm trên mặt cầu (S) tâm O, bán kính R=6 cm. Gọi I, K lần lượt là hai điểm trên đoạn OA sao cho OI=IK=KA. Các mặt phẳng (P), (Q) lần lượt đi qua I, K cùng vuông góc với OA và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính r 1 , r 2 . Tính tỉ số r 1 r 2 .
Cho A là điểm nằm trên mặt cầu (S) tâm (O), có bán kính R=6cm. I, K là 2 điểm trên đoạn OA sao cho OI=IK=KA. Các mặt phẳng (α), (b) lần lượt qua I, K cùng vuông góc với OA và cắt mặt cầu (S) theo các đường tròn có bán kính r 1 , r 2 . Tính tỉ số r 1 r 2
A. r 1 r 2 = 4 10
B. r 1 r 2 = 5 3 10
C. r 1 r 2 = 3 10 4
D. r 1 r 2 = 3 10 5
Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi ( α ) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và ( α ) bằng 30 ° . Đường thẳng đi qua A vuông góc với mặt phẳng ( α ) cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài đoạn AB.
Mặt phẳng (ABO) qua tâm O của hình cầu nên cắt mặt cầu theo đường tròn lớn qua A và B. Gọi I là trung điểm của đoạn AB ta có OI ⊥ AB. Vì AB // OH nên AIOH là hình chữ nhật.
Do đó
Vậy AB = 2AI = r
Chú ý: Có thể nhận xét rằng tam giác OAB cân tại O (OA = OB) và có góc ∠ OAB = 60 ° nên OAB là tam giác đều và suy ra AB = OA = OB = r.
Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính r và có đường cao h = r 2 . Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B. Gọi ( α ) là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’ và mặt phẳng (α).
Ta có ( α ) là (ABB’). Vì OO’ // ( α ) nên khoảng cách giữa OO’ và ( α ) bằng khoảng cách từ O đến ( α ). Dựng OH ⊥ AB′ ta có OH ⊥ ( α ).
Vậy khoảng cách cần tìm là 
Cho mặt cầu tâm O bán kính r. Gọi ( α ) là mặt phẳng cách tâm O một khoảng h (0 < h < r) và cắt mặt cầu theo đường tròn (C). Đường thẳng d đi qua một điểm A cố định trên (C) và vuông góc với mặt phẳng ( α ) cắt mặt cầu tại một điểm B. Gọi CD là đường kính di động của (C). Chứng minh các tổng AD 2 + BC 2 và AC 2 + BD 2 có giá trị không đổi
Tam giác ADC vuông tại A nên AD 2 = DC 2 - AC 2 (1)
Tam giác ABC vuông tại A nên BC 2 = AC 2 + AB 2 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra AD 2 + BC 2 = DC 2 + AB 2 (3)
Ta lại có:
AC 2 = DC 2 - AD 2 và BD 2 = AD 2 + AB 2 (4)
DC 2 = 4 r 2 - h 2 , AB 2 = 4 h 2 (5)
Từ (4) và (5) ta có:
AC 2 + BD 2 = DC 2 + AB 2 = 4 r 2 - h 2 + 4 h 2 = 4 r 2 (6)
Từ (3) và (6) ta có: AD 2 + BC 2 = AC 2 + BD 2 (không đổi)
Cho mặt cầu tâm O bán kính r. Gọi ( α ) là mặt phẳng cách tâm O một khoảng h (0 < h < r) và cắt mặt cầu theo đường tròn (C). Đường thẳng d đi qua một điểm A cố định trên (C) và vuông góc với mặt phẳng ( α ) cắt mặt cầu tại một điểm B. Gọi CD là đường kính di động của (C). Với vị trí nào của CD thì diện tích tam giác BCD lớn nhất?
Diện tích tam giác BCD bằng:
Diện tích này lớn nhất khi AI // CD.
